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<!DOCTYPE html>

<title>Chemisches Potential</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Chemisches Potential</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Das chemische Potential oder chemische Potenzial <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> ist eine <a href="Thermodynamische_Zustandsgr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Thermodynamische Zustandsgröße">thermodynamische Zustandsgröße</a>, die zur Analyse von <a href="Heterogenes_System" title="Heterogenes System">heterogenen</a>, thermodynamischen Systemen von <a href="Josiah_Willard_Gibbs" title="Josiah Willard Gibbs">Josiah Willard Gibbs</a> eingeführt wurde. Jeder Stoffkomponente (<a href="Chemisches_Element" title="Chemisches Element">chemisches Element</a> oder <a href="Chemische_Verbindung" title="Chemische Verbindung">chemische Verbindung</a>) einer jeden <a href="Phase_(Materie)" title="Phase (Materie)">homogenen Phase</a> eines <a href="Thermodynamisches_System" title="Thermodynamisches System">thermodynamischen Systems</a> ist ein chemisches Potential zugeordnet.

Die Bedingungen für das thermodynamische Gleichgewicht und die <a href="St%C3%B6chiometrie" title="Stöchiometrie">stöchiometrischen Bilanzen</a> bei chemischen Stoffumwandlungen führen auf lineare Gleichungen zwischen den chemischen Potentialen. Diese Gleichungen ermöglichen die Bestimmung der verschiedenen Stoffanteile in den einzelnen Phasen (etwa bei der <a href="Destillation" title="Destillation">Destillation</a>), die Berechnung der Druckdifferenz bei einer <a href="Osmose" title="Osmose">Osmose</a>, die Bestimmung der <a href="Gefrierpunktserniedrigung" title="Gefrierpunktserniedrigung">Gefrierpunktserniedrigung</a>, die Berechnung der <a href="Gleichgewichtskonstante" class="mw-redirect" title="Gleichgewichtskonstante">Gleichgewichtskonstanten</a> von <a href="Chemische_Reaktion" title="Chemische Reaktion">chemischen Reaktionen</a> und die Analyse der <a href="Gibbssche_Phasenregel" title="Gibbssche Phasenregel">Koexistenz verschiedener Phasen</a>. Darüber hinaus kann für eine Einwirkung von außen auf eine Größe wie die Temperatur, den Druck oder einen Stoffmengenanteil mittels der chemischen Potentiale die spontane Entwicklungsrichtung des Systems zurück zu einem Gleichgewichtszustand ermittelt werden.<a href="#cite_note-Gibbs_1-1">[1]</a><a href="#cite_note-GWedlerPhysChemie_2_3-2">[2]</a><a href="#cite_note-Lucas_7-3">[3]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anschauliche_Interpretation">Anschauliche Interpretation</h2></div>

Das chemische Potential einer Komponente gibt die Änderung der inneren Energie eines Systems an, wenn sich die Teilchenzahl dieser Komponente ändert und dabei Volumen und Entropie konstant bleiben. Es beschreibt zum Beispiel die Änderung der inneren Energie pro zugesetzter Stoffmenge einer bestimmten Komponente oder die Änderung der inneren Energie, wenn eine Komponente während einer <a href="Chemische_Reaktion" title="Chemische Reaktion">Reaktion</a> verbraucht wird.

Das chemische Potential kann in Analogie zu anderen <a href="Intensive_Gr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Intensive Größe">intensiven Zustandsgrößen</a> wie dem <a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">Druck</a> gesehen werden. Der Druck beschreibt die Änderung der inneren Energie, wenn sich das <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> ändert. Gleich wie der Druck ist das chemische Potential einer Komponente ein Maß für die verrichtete <a href="Arbeit_(Physik)" title="Arbeit (Physik)">Arbeit</a>; statt mechanischer handelt es sich aber um chemische Arbeit.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>

Das chemische Potential beschreibt die Änderung der in einem System gespeicherten Energie, wenn sich die Teilchenanzahl einer chemischen Spezies im System verändert. Um dies zu präzisieren, muss erst die in einem System gespeicherte Energie definiert werden. Dies geschieht durch die Änderung der <a href="Innere_Energie" title="Innere Energie">inneren Energie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} U}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8d25429855f05fe5da1e4beadb321ed305633e4f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.075ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U}" loading="lazy"> eines Systems.

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q+\delta W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1630062b4bff7d4ae50aa615509941fad0e0723f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.385ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U=\delta Q+\delta W}" loading="lazy"></dd></dl>

Das bedeutet, dass sich die innere Energie ändert, wenn man Wärme hinzufügt oder abführt (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bf715eece146c816847a8c5d56eae97798453d64.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.887ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta Q}" loading="lazy">) oder das System Arbeit verrichtet oder Arbeit an ihm verrichtet wird (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta W}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/973e6b089758466f338610e76ab50fd4093efbc8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.484ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta W}" loading="lazy">). Die Art der Arbeit kann dabei mechanischer, elektrischer oder chemischer Natur sein. Im Folgenden werden nur mechanische und chemische Arbeit betrachtet. Die mechanische Arbeit kann als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -p\mathrm {d} V}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -p\mathrm {d} V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d5313b6dc2ecb33faae59ccbd9748d0d5982717.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.057ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle -p\mathrm {d} V}" loading="lazy"> geschrieben werden. Komprimiert man ein System (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} V<0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} V<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72f1c76a9dd2b6630864c7041f79bb2eaa65ae3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.341ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} V<0}" loading="lazy">), so verrichtet man Arbeit am System und die gespeicherte Energie wird erhöht. Per Definition ist eine Erhöhung der gespeicherten Energie als positive Änderung der inneren Energie definiert. Die Änderung der gespeicherten Wärmeenergie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta Q=T\mathrm {d} S}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta Q=T\mathrm {d} S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/513e46f237e84938b3101ff9482a8eabf708c9dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.413ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta Q=T\mathrm {d} S}" loading="lazy"> ist über die Änderung der Entropie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy"> im System definiert, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> die Temperatur repräsentiert. Es folgt somit:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

<mtext>chemisch</mtext>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\delta W_{\text{chemisch}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/79bdc0b54706f23b87dfc9fc2b7e17ae843fb96e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:30.498ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V+\delta W_{\text{chemisch}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Die chemischen Potentiale müssen sich nun im Term <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta W_{\text{chemisch}}}">

<msub>

<mtext>chemisch</mtext>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W_{\text{chemisch}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3798781b92c9d242bdd0fe55b9982cd873e0147b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.967ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \delta W_{\text{chemisch}}}" loading="lazy"> wiederfinden, da sie ja die Änderung der inneren Energie bei Verrichtung von chemischer Arbeit charakterisieren sollen. Da chemische Arbeit mit dem Ablaufen von chemischen Reaktionen verbunden ist, sei nun eine chemische Reaktion formuliert.

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {A+B\longrightarrow C+D} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bc8f273046713f1a4789c065fe3b7f5eb9ddb7b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.619ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {A+B\longrightarrow C+D} }" loading="lazy"></dd></dl>

Die Stoffe A und B werden dabei zu den Stoffen C und D umgesetzt, wobei chemische Arbeit verrichtet wird. Wenn die Reaktion freiwillig abläuft, erniedrigt sich die innere Energie des Systems, wohingegen die innere Energie des Systems erhöht wird, wenn die Reaktion erzwungen werden muss. Im ersten Fall verrichtet das System chemische Arbeit, im zweiten Fall wird chemische Arbeit an ihm verrichtet. Jedenfalls ändert sich die Teilchenanzahl jedes Stoffs im System beim Fortschreiten der Reaktion. Meist ist es gebräuchlich anstatt der Änderung der Teilchenanzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} N_{i}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} N_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/932f4bfd22162f7cc52e00ca4cd3bcfde870ee50.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.958ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} N_{i}}" loading="lazy">, die Änderung der Stoffmenge zu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} n_{i}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} n_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fc7e08f0268800efa7d45d5bff48ed1013c2c35.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.487ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} n_{i}}" loading="lazy"> zu verwenden, wobei der Subskript <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> den betrachteten Stoff bezeichnet. Da nun das chemische Potential die Änderung der inneren Energie pro umgesetzter Stoffmenge charakterisieren soll, ergibt sich für die chemische Arbeit:

<msub>

<mtext>chemisch</mtext>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta W_{\text{chemisch}}=\mu _{A}\mathrm {d} n_{A}+\mu _{B}\mathrm {d} n_{B}+\mu _{C}\mathrm {d} n_{C}+\mu _{D}\mathrm {d} n_{D}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22ea0469218cedb1c9ccdfae1b9b107d57a49cca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:49.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \delta W_{\text{chemisch}}=\mu _{A}\mathrm {d} n_{A}+\mu _{B}\mathrm {d} n_{B}+\mu _{C}\mathrm {d} n_{C}+\mu _{D}\mathrm {d} n_{D}}" loading="lazy"></dd></dl>

Wenn nun <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> verschiedene Reaktionspartner beteiligt sind, so ergibt sich für die Änderung der inneren Energie:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}\!\quad .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/baab0672c253932214ca89ed0027fb0f5d46415e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.642ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}\!\quad .}" loading="lazy"></dd></dl>

Die innere Energie ist somit eine Funktion der Entropie, des Volumens sowie der Stoffmengen der Komponenten des Systems <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U(S,V,n_{i})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U(S,V,n_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e7bdd1632948bfd8882058e34c4e7d487af689a1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.141ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle U(S,V,n_{i})}" loading="lazy">. Das chemische Potential einer Komponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> kann nun als <a href="Partielle_Ableitung" title="Partielle Ableitung">partielle Ableitung</a> der inneren Energie nach seiner Stoffmenge definiert werden. Die anderen extensiven Zustandsgrößen wie die Entropie, das Volumen und die Stoffmengen der anderen Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} n_{j}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} n_{j}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/51fd9bf2d6a2fa0300e94c2cbbb293a18e9accef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.597ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} n_{j}}" loading="lazy"> werden dabei konstant gehalten.

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Rightarrow \mu _{i}:=\left({\frac {\partial U(S,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,V,n_{j\neq i}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1852fd34b1dded0be8a9365a49762f1591b77f13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:32.412ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \Rightarrow \mu _{i}:=\left({\frac {\partial U(S,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,V,n_{j\neq i}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Somit ist gezeigt, dass das chemische Potential als Änderung der inneren Energie pro Änderung der Stoffmenge bzw. Teilchenanzahl definiert ist.

Diese Definition zeigt auch die Unterschiede zu anderen Potentialen, wie zum Beispiel dem <a href="Elektrisches_Potential" title="Elektrisches Potential">elektrischen Potential</a> auf. Bei elektrischen Potential handelt es sich um die Stammfunktion des <a href="Elektrisches_Feld" title="Elektrisches Feld">elektrischen Feldes</a>. Das chemische Potential ist jedoch die Ableitung eines thermodynamischen Potentials. Es ist in diesem Vergleich also analog zu einer Komponente des elektrischen Feldes.

Wie unten gezeigt wird, setzt sich in einer Mischung das chemische Potential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}(a_{i})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}(a_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f0aa95c01696f6ae36792a0a718c07eae0fd2941.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.04ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}(a_{i})}" loading="lazy"> einer Komponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> mit der Aktivität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}" loading="lazy"> aus dem von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}" loading="lazy"> unabhängigen Anteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}^{\circ }}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32546169bc3b9067092e79b6135a01e94fabf7ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.456ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}^{\circ }}" loading="lazy"> und dem von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}" loading="lazy"> abhängigen Anteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R\cdot T\cdot \ln a_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R\cdot T\cdot \ln a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c2bf2c26e6db19db0915b5a4c66e15b2503616f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.114ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R\cdot T\cdot \ln a_{i}}" loading="lazy"> zusammen:<a href="#cite_note-:Denbigh12-4">[4]</a><a href="#cite_note-:1-5">[5]</a>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\circ }+R\cdot T\cdot \ln a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ff8529219d3e9142960705ff1ce0f25e18e4e54b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:21.711ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\circ }+R\cdot T\cdot \ln a_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der von <a href="Gehaltsangabe" title="Gehaltsangabe">Gehaltsgrößen</a> unabhängige Anteil <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}^{\circ }}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32546169bc3b9067092e79b6135a01e94fabf7ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.456ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}^{\circ }}" loading="lazy"> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dea0a0293841cce9eef98b55e53a92b82ae59ee4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.201ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}}" loading="lazy"> hängt nur von Druck und Temperatur ab und repräsentiert einen mischphasenthermodynamischen <a href="Mischphase#Referenzzustände_in_der_Mischphasenthermodynamik" title="Mischphase">Referenzzustand</a> (°), in dem sich die Komponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> wie ein Reinstoff verhält.<a href="#cite_note-:Denbigh12-4">[4]</a><a href="#cite_note-:0-6">[6]</a> Die mischphasenthermodynamischen Referenzzustände sind nicht identisch und nicht zu verwechseln mit <a href="Standardbedingungen" title="Standardbedingungen">Standardbedingungen</a>, die sich durch festgelegte Standard-Werte für Druck und Temperatur auszeichnen und die zur Tabellierung physikalisch-chemischer Größen dienen.<a href="#cite_note-Wedler2-7">[7]</a>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Alternative_Formulierungen">Alternative Formulierungen</h2></div>

Alternativ zur inneren Energie lassen sich auch andere <a href="Thermodynamisches_Potential" title="Thermodynamisches Potential">thermodynamische Potentiale</a> definieren, die Auskunft darüber geben, ob eine chemische Reaktion freiwillig abläuft oder nicht. Im Falle der inneren Energie läuft eine chemische Reaktion freiwillig ab (das System gibt Energie an die Umgebung ab), wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} U<0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U<0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ef08dcbbcdb52fca7b57eb99bb8485c2b20e42f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.336ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U<0}" loading="lazy">. Dasselbe gilt für die <a href="Enthalpie" title="Enthalpie">Enthalpie</a>, die <a href="Freie_Energie" title="Freie Energie">freie Energie</a> sowie die <a href="Freie_Enthalpie" class="mw-redirect" title="Freie Enthalpie">freie Enthalpie</a>. Diese thermodynamischen Potentiale werden durch sukzessive <a href="Legendre-Transformation" title="Legendre-Transformation">Legendre-Transformationen</a> der inneren Energie gewonnen.

Während dieser Variablentransformationen bleibt jedoch die Stoffmenge unberührt. Somit kann das chemische Potential einer Komponenten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> auch als partielle Ableitung der vorher genannten thermodynamischen Potentiale nach der Stoffmenge der Komponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> definiert werden. Neben den Definitionen des chemischen Potentials der Komponente <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> ist auch die Transformationsgleichung für das dementsprechende thermodynamische Potential gegeben. Beispielsweise wird die Enthalpie direkt aus der inneren Energie gewonnen. Wie man sieht, geht in keine Transformationsgleichung die Stoffmenge ein, wie vorhin bereits erwähnt wurde. Somit kann das chemische Potential wie folgt geschrieben werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial H(S,p,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,p,n_{j\neq i}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49089799745c2cfcf0a7e6653cf690afbf40f21c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.669ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial H(S,p,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,p,n_{j\neq i}}}" loading="lazy"> aus der <a href="Enthalpie" title="Enthalpie">Enthalpie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle H=U+pV}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle H=U+pV}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ab5d07861627786ff90e0d882a95bd4b36d2c710.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.742ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle H=U+pV}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial F(T,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{T,V,n_{j\neq i}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/91971e3a293241af6a0e586bf19f512bc1f41aed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:29.635ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial F(T,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{T,V,n_{j\neq i}}}" loading="lazy"> aus der <a href="Freie_Energie" title="Freie Energie">freien Energie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F=U-TS}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F=U-TS}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a9c80d36ac52e52be78ce8bb9111b0fdf05378ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:12.598ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle F=U-TS}" loading="lazy"></dd></dl>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial G(T,p,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{T,p,n_{j\neq i}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8b8725a58c4fa156f19c2c5c917fdcda222f13ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:28.666ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}:=\left({\frac {\partial G(T,p,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{T,p,n_{j\neq i}}}" loading="lazy"> aus der <a href="Freie_Enthalpie" class="mw-redirect" title="Freie Enthalpie">freien Enthalpie</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle G=U+pV-TS}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G=U+pV-TS}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3124fecdfd2403dd038dd3ee30a018011e302228.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:18.481ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle G=U+pV-TS}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Chemisches_Gleichgewicht">Chemisches Gleichgewicht</h2></div>

Die chemischen Potentiale der Komponenten, die an einer chemischen Reaktion beteiligt sind, eignen sich auch zur Beschreibung des chemischen Gleichgewichtes. Zuerst sei die Bedingung für chemisches Gleichgewicht mit Hilfe der freien Enthalpie bei konstantem Druck und konstanter Temperatur formuliert:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\mathrm {d} G)_{T,p}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9673bfac84559427968cf931e1a5121268ee2ab1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:11.863ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle (\mathrm {d} G)_{T,p}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Eine chemische Reaktion im Gleichgewicht kann wie folgt formuliert werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{\mathrm {A} }\,\mathrm {A} +\nu _{\mathrm {B} }\,\mathrm {B} \rightleftharpoons \nu _{\mathrm {C} }\,\mathrm {C} +\nu _{\mathrm {D} }\,\mathrm {D} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c996d72ded14e0f98df83704e70c536eed2377e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:28.047ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \nu _{\mathrm {A} }\,\mathrm {A} +\nu _{\mathrm {B} }\,\mathrm {B} \rightleftharpoons \nu _{\mathrm {C} }\,\mathrm {C} +\nu _{\mathrm {D} }\,\mathrm {D} }" loading="lazy"></dd></dl>

Die oben genannte Gleichgewichtsbedingung kann für diese Reaktion wie folgt formuliert werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{A}\mathrm {d} n_{A}+\mu _{B}\mathrm {d} n_{B}+\mu _{C}\mathrm {d} n_{C}+\mu _{D}\mathrm {d} n_{D}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e312375251bcb6ebbcd2efe56df776aba3859ec.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:41.175ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu _{A}\mathrm {d} n_{A}+\mu _{B}\mathrm {d} n_{B}+\mu _{C}\mathrm {d} n_{C}+\mu _{D}\mathrm {d} n_{D}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Jede Änderung der Stoffmenge einer Komponente kann durch die Stoffmengenänderung einer anderen Komponente beschrieben werden. So kann die Änderung der Stoffmenge der Komponente A durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} n_{A}=-{\frac {\nu _{\mathrm {A} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}\mathrm {d} n_{D}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} n_{A}=-{\frac {\nu _{\mathrm {A} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}\mathrm {d} n_{D}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b752ee5bf8e44237291873a26b9b72fd258dc38.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:16.811ex; height:5.009ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} n_{A}=-{\frac {\nu _{\mathrm {A} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}\mathrm {d} n_{D}}" loading="lazy"> ausgedrückt werden. Das negative Vorzeichen stammt daher, dass die Stoffmenge der Komponente A abnimmt wenn die Stoffmenge der Komponente D zunimmt.

Führt man dies nun für alle Terme durch so gelangt man zu:

<mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left(-\mu _{A}{\frac {\nu _{\mathrm {A} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}-\mu _{B}{\frac {\nu _{\mathrm {B} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}+\mu _{C}{\frac {\nu _{\mathrm {C} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}+\mu _{D}{\frac {\nu _{\mathrm {D} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}\right)\mathrm {d} n_{D}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc5b950125a3390299697e93f036d2096c9aafc6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:48.194ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \left(-\mu _{A}{\frac {\nu _{\mathrm {A} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}-\mu _{B}{\frac {\nu _{\mathrm {B} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}+\mu _{C}{\frac {\nu _{\mathrm {C} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}+\mu _{D}{\frac {\nu _{\mathrm {D} }}{\nu _{\mathrm {D} }}}\right)\mathrm {d} n_{D}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Da die Änderung der Stoffmenge der Komponente D nicht null sein kann, gelangt man durch Multiplikation mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \nu _{\mathrm {D} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \nu _{\mathrm {D} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5df1049b543183dc954e5999782e80fc3442019e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.636ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \nu _{\mathrm {D} }}" loading="lazy"> zu folgender Gleichgewichtsbedingung:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\nu _{\mathrm {A} }\mu _{A}-\nu _{\mathrm {B} }\mu _{B}+\nu _{\mathrm {C} }\mu _{C}+\nu _{\mathrm {D} }\mu _{D}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/82d2db76e79c2f27451b08a628e4765055469d52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:36.577ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle -\nu _{\mathrm {A} }\mu _{A}-\nu _{\mathrm {B} }\mu _{B}+\nu _{\mathrm {C} }\mu _{C}+\nu _{\mathrm {D} }\mu _{D}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies stellt eine wichtige Erkenntnis dar. Das chemische Gleichgewicht kann somit vollständig durch die chemischen Potentiale der Komponenten sowie durch deren Reaktionskoeffizienten beschrieben werden. Allgemein gilt bei chemischem Gleichgewicht:

<msub>

<mtext>Produkte</mtext>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mtext>Edukte</mtext>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma _{i,{\text{Produkte}}}\nu _{\mathrm {i} }\mu _{i}-\Sigma _{j,{\text{Edukte}}}\nu _{\mathrm {j} }\mu _{j}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5aabcb173d6f94edfb55f92d476b32d8dc5e413f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:33.153ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \Sigma _{i,{\text{Produkte}}}\nu _{\mathrm {i} }\mu _{i}-\Sigma _{j,{\text{Edukte}}}\nu _{\mathrm {j} }\mu _{j}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Die Einsicht, dass sich das chemische Gleichgewicht mit Hilfe der chemischen Potentiale der Komponenten ausdrücken lässt ermöglicht die Formulierung der <a href="Massenwirkungsgesetz" title="Massenwirkungsgesetz">Gleichgewichtskonstanten</a> für eine chemische Reaktion. Zuallererst muss dafür die Konzentrationsabhängigkeit des chemischen Potentials erarbeitet werden. Man erinnere sich erst, dass für die Änderung der freien Enthalpie im Gleichgewicht folgende Beziehung gilt:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} G=\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}\!\quad =0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/213ed6f9073381541dbd5bf8a3e01acdb051d523.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:20.168ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} G=\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}\!\quad =0}" loading="lazy"></dd></dl>

Integriert man diese Gleichung und bildet anschließend das <a href="Totales_Differential" title="Totales Differential">totale Differential</a>, so gelangt man zu folgendem Ausdruck<a href="#cite_note-tanaka-8">[8]</a>:

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} G=\Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}+\Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/946645fbdbc7bb757696905a1f135fdf809b3d6b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.052ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} G=\Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}+\Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=0}" loading="lazy"></dd></dl>

Durch Vergleich mit dem totalen Differential der <a href="Gibbs-Energie#Ableitungen_der_Gibbs-Energie" title="Gibbs-Energie">freien Enthalpie</a> erhält man:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}+\Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=-SdT+Vdp+\Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7968c9feb961dda548ea5108d3e140951ba1bd92.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:44.051ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}+\Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=-SdT+Vdp+\Sigma \mu _{i}\mathrm {d} n_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

Unter der Annahme konstanter Temperatur vereinfacht sich diese Gleichung weiter zu:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=V\mathrm {d} p}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee2dd409cd9c9ba60dd5a25f1107a7558aa7071a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.714ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \Sigma n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=V\mathrm {d} p}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Einfachheit halber sei angenommen, bei dem betrachteten System handle es sich um ein <a href="Ideales_Gas" title="Ideales Gas">ideales Gas</a>, dessen Gesamtdruck sich aus den <a href="Partialdruck" title="Partialdruck">Partialdrücken</a> der einzelnen Komponenten ergibt. Somit kann die letzte Gleichung nur für eine Komponente geschrieben werden:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}={\frac {n_{i}RT}{p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9996a63155112c80083df45e36230802625366cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.479ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}={\frac {n_{i}RT}{p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

Integriert man nun diese Gleichung auf beiden Seiten vom Referenzzustand (°), in dem der vom Gehalt von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> abhängige Anteil von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dea0a0293841cce9eef98b55e53a92b82ae59ee4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.201ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}}" loading="lazy"> gleich null ist, bis zu einem frei wählbaren Zustand von Interesse,

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\mu _{i}^{\circ }}^{\mu _{i}}n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=\int _{p^{\circ }}^{p}{\frac {n_{i}RT}{p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6f2af72acac3ead38729adc8d8be9a576d8bf42c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:27.089ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \int _{\mu _{i}^{\circ }}^{\mu _{i}}n_{i}\mathrm {d} \mu _{i}=\int _{p^{\circ }}^{p}{\frac {n_{i}RT}{p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

so ergibt sich die Abhängigkeit des chemischen Potentials einer Komponente (siehe <a href="Raoultsches_Gesetz" title="Raoultsches Gesetz">Raoultsches Gesetz</a>):

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<mrow>

<mfrac>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\circ }+RT\ln \left({\frac {p_{i}}{p_{i}^{\circ }}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/50796aeaa25563a5b4be455caf56863ec6d51adc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:22.804ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\circ }+RT\ln \left({\frac {p_{i}}{p_{i}^{\circ }}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Quotient im Logarithmus-Term kann als <a href="Stoffmengenanteil" title="Stoffmengenanteil">Stoffmengenanteil</a> des idealen Gases identifiziert werden. Sollen nun auch nicht ideale Wechselwirkungen wie bei realen Gasen oder Elektrolytlösungen mitberücksichtigt werden, so ist der Stoffmengenanteil durch die <a href="Aktivit%C3%A4t_(Chemie)" title="Aktivität (Chemie)">Aktivität</a> zu ersetzen. Alternativ könnte man weiter oben auch mit einer Gasgleichung ansetzen die nicht ideales Verhalten berücksichtigt. Jedoch wird das schon im Falle der <a href="Van-der-Waals-Gleichung" title="Van-der-Waals-Gleichung">Van-der-Waals-Gleichung</a> für reale Gase sehr kompliziert und man wählt daher die vorgestellte Herangehensweise.

Somit kann man nun das chemische Potential einer Komponente in Abhängigkeit von der Aktivität <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0bc77764b2e74e64a63341054fa90f3e07db275f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.029ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle a_{i}}" loading="lazy"> anschreiben:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\circ }+RT\ln(a_{i})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/821de4550707a0f70bd517fffea76870335f60d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:20.162ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}=\mu _{i}^{\circ }+RT\ln(a_{i})}" loading="lazy"></dd></dl>

Eingangs wurde bereits die Erkenntnis gewonnen, dass das chemische Gleichgewicht durch die chemischen Potentiale und durch die Koeffizienten in der Reaktionsgleichung der Gleichgewichtsreaktion definiert ist. Setzt man den gewonnenen Ausdruck ein, der die Aktivität einer Komponenten berücksichtigt, so erhält man nach Umformen:

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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</msub>

</mrow>

<msup>

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</mrow>

</msub>

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</mrow>

<mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

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</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\Delta _{\rm {R}}G_{m}=RT\ln \left({\frac {({a_{C}})^{\nu _{C}}({a_{D}})^{\nu _{D}}}{({a_{A}})^{\nu _{A}}({a_{B}})^{\nu _{B}}}}\right)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32fbcd284dd4b6dd0aa2a8d58a3a82ab176a55f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:35.458ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle -\Delta _{\rm {R}}G_{m}=RT\ln \left({\frac {({a_{C}})^{\nu _{C}}({a_{D}})^{\nu _{D}}}{({a_{A}})^{\nu _{A}}({a_{B}})^{\nu _{B}}}}\right)}" loading="lazy"></dd></dl>

Der Term auf der linken Seite ist die molare freie Reaktionsenthalpie für den Druck und die Temperatur, für die die Werte von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu _{i}^{\circ }}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu _{i}^{\circ }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32546169bc3b9067092e79b6135a01e94fabf7ce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:2.456ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mu _{i}^{\circ }}" loading="lazy"> bestimmt wurden. Da <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta _{\rm {R}}G_{m}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta _{\rm {R}}G_{m}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eeb40965ea11abf284786278b3c61bf8416212c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.879ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta _{\rm {R}}G_{m}}" loading="lazy"> sowie unter Gleichgewichtsbedingungen auch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> konstant sind, muss auch der Quotient im Logarithmusterm konstant sein. Es handelt sich dabei um die <a href="Gleichgewichtskonstante" class="mw-redirect" title="Gleichgewichtskonstante">Gleichgewichtskonstante</a> im chemischen <a href="Massenwirkungsgesetz" title="Massenwirkungsgesetz">Massenwirkungsgesetz</a>:

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

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</mrow>

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</mrow>

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</mrow>

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<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K={\frac {({a_{C}})^{\nu _{C}}({a_{D}})^{\nu _{D}}}{({a_{A}})^{\nu _{A}}({a_{B}})^{\nu _{B}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8642b74dae49059f19c3e5d482fa3e044068a40c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:19.689ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle K={\frac {({a_{C}})^{\nu _{C}}({a_{D}})^{\nu _{D}}}{({a_{A}})^{\nu _{A}}({a_{B}})^{\nu _{B}}}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das chemische Gleichgewicht ist durch die chemischen Potentiale der Komponenten der Gleichgewichtsreaktion gegeben. Daraus kann das chemische Massenwirkungsgesetz abgeleitet werden.

Neben dem Massenwirkungsgetz lassen sich aus der Konzentrationsabhängigkeit des chemischen Potentials auch die <a href="Diffusion" title="Diffusion">Diffusionsgesetze</a> für gelöste Teilchen sowie der Diffusionskoeffizient ableiten. Eine detaillierte Herleitung ist im Artikel <a href="Diffusion" title="Diffusion">Diffusion</a> zu finden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Chemisches_Potential_in_der_statistischen_Thermodynamik">Chemisches Potential in der statistischen Thermodynamik</h2></div>

Bisher wurde das chemische Potential im Zusammenhang mit chemischen Reaktionen diskutiert. Das chemische Potential tritt aber auch in <a href="Verteilungsfunktion" title="Verteilungsfunktion">Verteilungsfunktionen</a> auf, die die Energieverteilung von Teilchen beschreiben. Dabei handelt es sich um die <a href="Fermi-Dirac-Statistik" title="Fermi-Dirac-Statistik">Fermi-Dirac-Statistik</a> sowie die <a href="Bose-Einstein-Statistik" title="Bose-Einstein-Statistik">Bose-Einstein-Statistik</a>. Die Fermi-Dirac Statistik beschreibt die Verteilung von Elektronen auf eine Zustandsdichte in einem Festkörper. Formelmäßig ist die Fermi-Dirac Statistik wie folgt definiert:

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(E)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}+1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/485d1ea3a0702f8e7fca062850d8e45769a39f1b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:23.877ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle f(E)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}+1}}}" loading="lazy">,</dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(E)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(E)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3465496148d29e6543003de4cdbac8e9ce6beda7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.864ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(E)}" loading="lazy"> die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustandes in Abhängigkeit von der Energie ist, während <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c9b90d21a1c8fb907fddab1caded3b7f1eeffe3d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.607ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}" loading="lazy"> die <a href="Boltzmann-Konstante" title="Boltzmann-Konstante">Boltzmann-Konstante</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.636ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle T}" loading="lazy"> die <a href="Absolute_Temperatur" class="mw-redirect" title="Absolute Temperatur">absolute Temperatur</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"> das chemische Potential des Elektrons ist (im folgenden Text wird abgekürzt nur mehr vom chemischen Potential gesprochen). In diesem Fall ist das chemische Potential die partielle Ableitung der <a href="Freie_Energie" title="Freie Energie">freien Energie</a> nach der Teilchenanzahl <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.064ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle N}" loading="lazy">.

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu ={\frac {\partial F}{\partial N}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b35bc45884b807ef421bcf5eacbdfdd0dc7fe09f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.718ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \mu ={\frac {\partial F}{\partial N}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Das chemische Potential charakterisiert dabei den Wendepunkt der Fermi-Verteilung. Die <a href="Fermi-Energie" title="Fermi-Energie">Fermi-Energie</a> ist der Grenzwert des chemischen Potentials für 0 <a href="Kelvin" title="Kelvin">Kelvin</a>. Häufig wird auch für höhere Temperaturen der Begriff Fermi-Energie an Stelle des chemischen Potentials verwendet, da die Temperaturabhängigkeit bei Raumtemperatur nicht sehr stark ausgeprägt ist. Eine physikalische Interpretation des chemischen Potentials ist hierbei analog zu der oben gegebenen. Es charakterisiert die Energie, die notwendig ist, um ein Elektron aus dem Festkörper zu entfernen. An diesem Beispiel ist auch ersichtlich, dass für diesen Fall das chemische Potential nicht die Einheit <a href="Joule" title="Joule">Joule</a>/<a href="Stoffmenge" title="Stoffmenge">Mol</a> trägt, sondern schlicht Joule. Beides ist zulässig, da die Einheit Mol nur eine definierte Teilchenanzahl darstellt.

In der Bose-Einstein Statistik tritt ebenfalls das chemische Potential auf. Sie dient zur Beschreibung der Besetzungswahrscheinlichkeit von Bosonen, die im Gegensatz zu Elektronen keine <a href="Pauli-Prinzip" title="Pauli-Prinzip">Teilchenbeschränkung</a> pro Energiezustand haben.

<mfrac>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(E)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}-1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f086e2ea56a1d394227dbc96ec7959067110cd42.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.505ex; width:23.877ex; height:7.843ex;" alt="{\displaystyle f(E)={\frac {1}{\exp {\left({\frac {E-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}-1}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Zu diesen Teilchen können auch Teilchen wie <a href="Phonon" title="Phonon">Phononen</a> oder <a href="Photonen" class="mw-redirect" title="Photonen">Photonen</a> gehören, für die keine Teilchenerhaltung notwendig ist (anders als für etwa Elektronen in einem Festkörper, deren Zahl konstant ist). Eine Konsequenz davon ist, dass das chemische Potential für diese Teilchen Null ist.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Elektrochemisches_Potential">Elektrochemisches Potential</h2></div>

<dl><dd>Hauptartikel <a href="Elektrochemisches_Potential" title="Elektrochemisches Potential">Elektrochemisches Potential</a></dd></dl>

Eingangs wurde das chemische Potential mit Hilfe der inneren Energie definiert, wobei keine <a href="Elektrische_Arbeit" class="mw-redirect" title="Elektrische Arbeit">elektrische Arbeit</a> berücksichtigt wurde. Tut man dies, so gelangt man zu folgendem Ausdruck für die Änderung der inneren Energie:

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}+\Sigma z_{i}F\phi \mathrm {d} n_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e6130ea8743742787a8d14c27b5016318c26f14.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:42.072ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V+\Sigma \mu _{i}\,\mathrm {d} n_{i}+\Sigma z_{i}F\phi \mathrm {d} n_{i}}" loading="lazy"></dd></dl>

Der letzte Term entspricht der elektrischen Arbeit, die nötig ist, um eine infinitesimale Stoffmenge eines geladenen Teilchens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> an einen Ort zu bringen, an dem das <a href="Elektrisches_Potential" title="Elektrisches Potential">Elektrische Potential</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> vorherrscht. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> ist dabei die <a href="Faraday-Konstante" title="Faraday-Konstante">Faraday-Konstante</a> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5c6e920bac39ad09fff4efef16254595091a1025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.881ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle z_{i}}" loading="lazy"> die <a href="Oxidationszahl" title="Oxidationszahl">Oxidationszahl</a> des Teilchens <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy">. Diese abstrakte Definition kann man wie folgt beschreiben: Die elektrische Arbeit ist über die Gleichung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle W_{\text{elektrisch}}=QU}">

<msub>

<mtext>elektrisch</mtext>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle W_{\text{elektrisch}}=QU}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/45057556af43b97eedffed362079c5a7cecfe504.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:15.964ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle W_{\text{elektrisch}}=QU}" loading="lazy"> definiert, wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle Q}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle Q}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8752c7023b4b3286800fe3238271bbca681219ed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.838ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle Q}" loading="lazy"> die Ladung und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> die elektrische Potentialdifferenz darstellen. Abhängig von der Richtung des elektrischen Feldes und der Ladung (positiv oder negativ) eines Teilchens muss man also Energie aufwenden, um ein geladenes Teilchens gegen eine elektrische Potentialdifferenz zu bewegen, oder sie wird frei, wenn das Teilchen durch die Potentialdifferenz beschleunigt wird.

Dieser elektrische Arbeitsterm ist in die obige Gleichung eingefügt worden. Die Ladung kann für die infinitesimale Stoffmenge eines Teilchen durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{i}F\mathrm {d} n_{i}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{i}F\mathrm {d} n_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27ea98ec42779f68d8d12a03389e8fb4ff41437b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.109ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z_{i}F\mathrm {d} n_{i}}" loading="lazy"> geschrieben werden. An Stelle einer Potentialdifferenz tritt das elektrische Potential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy">, wobei als Referenz das elektrische Potential in unendlicher Entfernung tritt und willkürlich Null gesetzt wird.

Die Interpretation des elektrischen Arbeitsterms für ein Teilchen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle i}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle i}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/add78d8608ad86e54951b8c8bd6c8d8416533d20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.802ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle i}" loading="lazy"> kann nun folgendermaßen gegeben werden. Er entspricht der elektrischen Arbeit, die notwendig ist, um eine infinitesimale Stoffmenge eines elektrisch geladenen Teilchens von unendlicher Entfernung an einen Ort zu bringen, an dem das elektrische Potential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> vorherrscht.

Mit dem zusätzlich eingefügten Term für die elektrische Arbeit wird die partielle Ableitung der inneren Energie nach der Stoffmenge einer Komponente zu:

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\partial U(S,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,V,n_{j\neq i}}=\mu _{i}+z_{i}F\phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/97bb10921616bd77befd0832d52978cfc28e75ba.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:36.643ex; height:7.009ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\partial U(S,V,n_{j})}{\partial {n_{i}}}}\right)_{S,V,n_{j\neq i}}=\mu _{i}+z_{i}F\phi }" loading="lazy"></dd></dl>

Diese partielle Ableitung ist nun als das elektrochemische Potential <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overline {\mu }}_{i}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mu }}_{i}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fb15d295215d393a369866b96e8611e0348c1092.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.316ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mu }}_{i}}" loading="lazy"> definiert:

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {\mu }}_{i}=\mu _{i}+z_{i}F\phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c566024bba02786eee17b699373dade6a87e956.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.464ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\overline {\mu }}_{i}=\mu _{i}+z_{i}F\phi }" loading="lazy"></dd></dl>

Das elektrochemische Potential tritt also an die Stelle des chemischen Potentials, wenn geladene Teilchen behandelt werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Werte">Werte</h2></div>

Die Werte des chemischen Potentials sind für Standardbedingungen (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T=298{,}15\ \mathrm {K} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T=298{,}15\ \mathrm {K} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5f886f2b0902dde3bf0b8e9cb11b597676a9e7c5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.583ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle T=298{,}15\ \mathrm {K} }" loading="lazy">; <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p=101{,}325\ \mathrm {kPa} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=101{,}325\ \mathrm {kPa} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6c28748954601956df8ba700b04e3fb55bedb112.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:16.532ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=101{,}325\ \mathrm {kPa} }" loading="lazy">) tabelliert, s. u. <a class="mw-selflink-fragment" href="#Weblinks">Weblinks</a>.

Ist das chemische Potential für einen bestimmten Zustand (z. B. Standardbedingungen) bekannt, so lässt es sich für Drücke und Temperaturen in der Umgebung dieses Zustandes in linearer Näherung berechnen:

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\mu (T)&=\mu (T_{0})+\alpha \cdot (T-T_{0})\qquad {\text{bzw.}}\\\mu (p)&=\mu (p_{0})+\beta \cdot (p-p_{0})\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cc24ebae70535169dc6b6d29df016a2441f85037.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:38.32ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\mu (T)&=\mu (T_{0})+\alpha \cdot (T-T_{0})\qquad {\text{bzw.}}\\\mu (p)&=\mu (p_{0})+\beta \cdot (p-p_{0})\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

mit

<ul><li>dem Temperaturkoeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\left({\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{p,n}}">

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\left({\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{p,n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec5ce1703856fa7cbdfd39f33992693a37a2810d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:14.3ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \alpha =\left({\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{p,n}}" loading="lazy"></li>

<li>der Druckkoeffizienten <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta =\left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{T,n}}">

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta =\left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{T,n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/162be05bd308633ed1f0cb38cdf582950a5e4d9d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:14.24ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \beta =\left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{T,n}}" loading="lazy"></li></ul>

Aus den <a href="Maxwell-Beziehungen" class="mw-redirect" title="Maxwell-Beziehungen">Maxwell-Beziehungen</a> folgt, dass

<ul><li>der Temperaturkoeffizient gleich der negativen molaren Entropie ist:</li></ul>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{p,n}=-\left({\frac {\partial S}{\partial n}}\right)_{T,p}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ee480c6f6191e3b7e2143155c9d326ea2d323bd5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:24.369ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial T}}\right)_{p,n}=-\left({\frac {\partial S}{\partial n}}\right)_{T,p}}" loading="lazy"></dd></dl>

und

<ul><li>der Druckkoeffizient gleich dem <a href="Molares_Volumen" title="Molares Volumen">molaren Volumen</a>:</li></ul>

<msub>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{T,n}=\left({\frac {\partial V}{\partial n}}\right)_{T,p}}</annotation>

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</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4824dcb4465e353ab5a59015dac3829c478e7532.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:22.945ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle \left({\frac {\partial \mu }{\partial p}}\right)_{T,n}=\left({\frac {\partial V}{\partial n}}\right)_{T,p}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Elektrochemisches_Potential" title="Elektrochemisches Potential">Elektrochemisches Potential</a></li>

<li><a href="Nernst-Gleichung" title="Nernst-Gleichung">Nernst-Gleichung</a></li>

<li><a href="Exzessgr%C3%B6%C3%9Fe" title="Exzessgröße">Exzessgröße</a></li>

<li><a href="Verteilungskoeffizient" title="Verteilungskoeffizient">Verteilungskoeffizient</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>J. Willard Gibbs: The Scientific Papers of J. Willard Gibbs: Vol. I Thermodynamics. Dover Publications, New York 1961.</li>

<li>G. Job, F. Herrmann: Chemical Potential – a quantity in search of recognition. In: Eur. J. Phys. 27, 2006, S. 353–371 (<a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1088/0143-0807%2F27%2F2%2F018">10.1088/0143-0807/27/2/018</a>, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.karlsruher-physikkurs.de/download/chem_pot_ejp%20(1).pdf">PDF</a>).</li>

<li>Ulrich Nickel: Lehrbuch der Thermodynamik. Eine anschauliche Einführung. 3., überarbeitete Auflage. PhysChem, Erlangen 2019, ISBN 978-3-937744-07-0.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .webarchiv-memento a{color:inherit}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><a rel="nofollow" class="external text" href="https://web.archive.org/web/20220121035450/https://www.job-stiftung.de/index.php?id=11%2C0%2C0%2C1%2C0%2C0">Tabelle chemischer Potentiale und Temperaturkoeffizienten</a> (<a href="Webarchivierung#Begrifflichkeiten" title="Webarchivierung">Memento</a> vom 21. Januar 2022 im <a href="Internet_Archive" title="Internet Archive">Internet Archive</a>)</li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.physchem.info/sample-page/">Das chemische Potential in Experimenten:</a> Schauversuche Marmorauflösung, Ammoniak-Springbrunnen, <a href="Karbidlampe" title="Karbidlampe">Karbidlampe</a> (jeweils Versuchsanleitung und Video)</li>

<li>Das chemische Potential für Reinstoffe ist gleich der molaren freien Enthalpie wie etwa tabelliert bei <a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Tabellensammlung_Chemie/_Thermodynamische_Daten" class="extiw external" title="b:Tabellensammlung Chemie/ Thermodynamische Daten">(wikibooks) Thermodynamische Daten</a></li>

<li>Video: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://av.tib.eu/media/15665">Chemisches Potential und formale Thermodynamik – Welche Parameter ändern die freie Enthalpie?</a>. Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, zur Verfügung gestellt von der <a href="Technische_Informationsbibliothek" class="mw-redirect" title="Technische Informationsbibliothek">Technischen Informationsbibliothek</a> (TIB), <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.5446/15665">10.5446/15665</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<a href="Josiah_Willard_Gibbs" title="Josiah Willard Gibbs">Josiah Willard Gibbs</a>: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">On the Equilibrium of Heterogeneous Substances</cite>. In: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Transactions of the Connecticut Academy of Arts and Sciences</cite>. Band 3, Nr. V, 1878, S. 108–248 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.biodiversitylibrary.org/item/32295#page/128/mode/1up">biodiversitylibrary.org</a> [abgerufen am 27. April 2017]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.atitle=On+the+Equilibrium+of+Heterogeneous+Substances&rft.au=Josiah+Willard+Gibbs&rft.date=1878&rft.genre=journal&rft.issue=V&rft.jtitle=Transactions+of+the+Connecticut+Academy+of+Arts+and+Sciences&rft.pages=108-248&rft.volume=3" style="display:none">

</li>

<a href="Gerd_Wedler" title="Gerd Wedler">Gerd Wedler</a>, <a href="Hans-Joachim_Freund_(Chemiker)" title="Hans-Joachim Freund (Chemiker)">Hans-Joachim Freund</a>: <cite style="font-style:italic">Lehrbuch der Physikalischen Chemie</cite>. 6. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0, 2.3 Die Grundgleichungen der Thermodynamik, S. 313–440.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.atitle=2.3+Die+Grundgleichungen+der+Thermodynamik&rft.au=Gerd+Wedler%2C+Hans-Joachim+Freund&rft.btitle=Lehrbuch+der+Physikalischen+Chemie&rft.date=2012&rft.edition=6&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783527329090&rft.pages=313-440&rft.place=Weinheim&rft.pub=Wiley-VCH" style="display:none">

</li>

<a href="Klaus_Lucas" title="Klaus Lucas">Klaus Lucas</a>: <cite style="font-style:italic">Thermodynamik; Die Grundgesetze der Energie- und Stoffumwandlungen</cite>. 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-68645-3, 7 Modellprozesse für Stoffumwandlungen, S. 431–540.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.atitle=7+Modellprozesse+f%C3%BCr+Stoffumwandlungen&rft.au=Klaus+Lucas&rft.btitle=Thermodynamik%3B+Die+Grundgesetze+der+Energie-+und+Stoffumwandlungen&rft.date=2008&rft.edition=7&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783540686453&rft.pages=431-540&rft.place=Berlin%2C+Heidelberg&rft.pub=Springer+Verlag" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-:Denbigh12-4">↑ <a href="#cite_ref-:Denbigh12_4-0">a</a> <a href="#cite_ref-:Denbigh12_4-1">b</a> K. G. Denbigh: <cite style="font-style:italic">The Principles of Chemical Equilibrium: With Applications in Chemistry and Chemical Engineering</cite>. 4. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1981, ISBN 978-0-521-23682-9, 9.1. Conventions for the activity coefficient on the mole fraction scale, S. 270 ff., <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017/cbo9781139167604">10.1017/cbo9781139167604</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cambridge.org/core/product/identifier/9781139167604/type/book">cambridge.org</a> [abgerufen am 13. Juni 2021]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.atitle=9.1.+Conventions+for+the+activity+coefficient+on+the+mole+fraction+scale&rft.au=K.+G.+Denbigh&rft.btitle=The+Principles+of+Chemical+Equilibrium%3A+With+Applications+in+Chemistry+and+Chemical+Engineering&rft.date=1981&rft.doi=10.1017%2Fcbo9781139167604&rft.edition=4&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9780521236829&rft.pages=270+ff&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-:1-5"><a href="#cite_ref-:1_5-0">↑</a> Gerd Wedler, Hans-Joachim Freund: <cite style="font-style:italic">Lehr- und Arbeitsbuch Physikalische Chemie</cite>. 7. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2018, ISBN 978-3-527-34611-0, 2.3.6 Abhängigkeit des chemischen Potentials in Mischphasen vom Molenbruch, S. 176 f.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.atitle=2.3.6+Abh%C3%A4ngigkeit+des+chemischen+Potentials+in+Mischphasen+vom+Molenbruch&rft.au=Gerd+Wedler%2C+Hans-Joachim+Freund&rft.btitle=Lehr-+und+Arbeitsbuch+Physikalische+Chemie&rft.date=2018&rft.edition=7&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783527346110&rft.pages=176+f&rft.place=Weinheim&rft.pub=Wiley-VCH" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-:0-6"><a href="#cite_ref-:0_6-0">↑</a> E.R. Cohen, T. Cvitas, J.G Frey, B. Holmstrom, K. Kuchitsu, R. Marquardt, I. Mills, F. Pavese, M. Quack, J. Stohner, H. Strauss, M. Takami, and A.J. Thor: <cite style="font-style:italic">Quantities, Units and Symbols in Physical Chemistry</cite>. Hrsg.: International Union of Pure and Applied Chemistry. 3. Auflage. Green Book. Royal Society of Chemistry, Cambridge 2012, ISBN 978-0-85404-433-7, S. 61 f., <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1039/9781847557889">10.1039/9781847557889</a> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://iupac.org/wp-content/uploads/2019/05/IUPAC-GB3-2012-2ndPrinting-PDFsearchable.pdf">iupac.org</a> [PDF]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.au=E.R.+Cohen%2C+T.+Cvitas%2C+J.G+Frey%2C+...&rft.btitle=Quantities%2C+Units+and+Symbols+in+Physical+Chemistry&rft.date=2012&rft.doi=10.1039%2F9781847557889&rft.edition=3&rft.genre=book&rft.isbn=9780854044337&rft.pages=61f&rft.place=Cambridge&rft.pub=Royal+Society+of+Chemistry&rft.volume=Green+Book" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-Wedler2-7"><a href="#cite_ref-Wedler2_7-0">↑</a> Gerd Wedler, Hans-Joachim Freund: <cite style="font-style:italic">Lehr- und Arbeitsbuch Physikalische Chemie</cite>. 7. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2018, ISBN 978-3-527-34611-0, 2.6.2 Standardreaktion, Restreaktion und Gleichgewichtskonstante, S. 224 f.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.atitle=2.6.2+Standardreaktion%2C+Restreaktion+und+Gleichgewichtskonstante&rft.au=Gerd+Wedler%2C+Hans-Joachim+Freund&rft.btitle=Lehr-+und+Arbeitsbuch+Physikalische+Chemie&rft.date=2018&rft.edition=7&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9783527346110&rft.pages=224+f&rft.place=Weinheim&rft.pub=Wiley-VCH" style="display:none">

</li>

Tomoyasu Tanaka: <cite style="font-style:italic">Methods of Statistical Physics</cite>. 1. Auflage. Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-58056-4, 2 Thermodynamic Relations, S. 42–44.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abookitem&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Chemisches+Potential&rft.atitle=2+Thermodynamic+Relations&rft.au=Tomoyasu+Tanaka&rft.btitle=Methods+of+Statistical+Physics&rft.date=2002&rft.edition=1&rft.genre=bookitem&rft.isbn=9780521580564&rft.pages=42-44&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none">

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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